r(t) = <t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)>, 0 <= t <= pi
Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por no intervalo de de a . Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva paramétrica. Vamos precisar calcular a derivada de e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Lembra que, para vetores, a derivada é feita componente a componente. Então:
Vamos calcular cada derivada:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo da derivada , que nos dá a velocidade com que estamos percorrendo a curva. O módulo é calculado usando:
Vamos simplificar isso:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o módulo da derivada em mãos, podemos agora calcular o comprimento da curva usando a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica:
Substituindo , e :

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A constante pode ser puxada para fora da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento da curva é .

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