Determine o comprimento da curva dada.
Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por
no intervalo de
de
a
. Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva paramétrica. Vamos precisar calcular a derivada de
e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Lembra que, para vetores, a derivada é feita componente a componente. Então:
Vamos calcular cada derivada:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo da derivada
, que nos dá a velocidade com que estamos percorrendo a curva. O módulo é calculado usando:
Vamos simplificar isso:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com o módulo da derivada em mãos, podemos agora calcular o comprimento da curva usando a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. A constante
pode ser puxada para fora da integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O comprimento da curva é
.
Exercícios relacionados
Determine o versor tangente
no ponto com valor do parâmetro
dado.
(a) .
(a)
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto
especificado:
.
Se
e
: determine