r(t) = <t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)>, 0 <= t <= pi
Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por no intervalo de de a . Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva paramétrica. Vamos precisar calcular a derivada de e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Lembra que, para vetores, a derivada é feita componente a componente. Então:
Vamos calcular cada derivada:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo da derivada , que nos dá a velocidade com que estamos percorrendo a curva. O módulo é calculado usando:
Vamos simplificar isso:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o módulo da derivada em mãos, podemos agora calcular o comprimento da curva usando a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica:
Substituindo , e :

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A constante pode ser puxada para fora da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento da curva é .

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integral0^3 integral0^2 integral0^x+z 6 x z d y d x d z
Determine o versor tangente T = r(t) / ||r(t)|| no ponto com valor do parâmetro t dado.
(a) r(t) = 6 t^5 i + 4 t^3 j + 2 t k, t = 1.
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto P0 especificado: x = t^2 - 1, y = t^2 + 1, z = t + 1, P0(-1, 1, 1).
Se u(t) = i - 2 t^2 j + 3 t^3 k e v(t) = t i + cos(t) j + sen(t) k: determine D_t[u(t) x v(t)]