Se u(t) = i - 2 t^2 j + 3 t^3 k e v(t) = t i + cos(t) j + sen(t) k: determine D_t[u(t) x v(t)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, e , e a gente precisa encontrar a derivada em relação a do produto vetorial delas, ou seja, . Vamos precisar saber como derivar produtos vetoriais e como calcular derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de um produto vetorial segue a regra do produto, assim como na multiplicação de funções escalares. Ou seja,
Isso significa que a derivada do produto vetorial é igual à derivada do primeiro vetor vezes o segundo vetor, mais o primeiro vetor vezes a derivada do segundo vetor.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e .
Para , a derivada é:
Para , a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão completa usando a regra do produto vetorial que mencionamos:

Passo 5

Vamos calcular cada produto vetorial separadamente.
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 6

Agora, vamos somar os dois resultados que obtivemos:

Resposta

Portanto, a derivada em relação a do produto vetorial é:

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