Prove as regras de derivação complexas (Note que são iguais as regras do cálculo!): se f e g são analíticas, então:
a) f + g é analítica e (f + g)' = f' + g';

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se e são funções analíticas, então a soma também é analítica e que a derivada de é igual à soma das derivadas de e , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função analítica e como as derivadas se comportam com somas de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica no contexto de funções de variável complexa. Uma função é dita ser analítica em um ponto se ela é diferenciável nesse ponto e em um entorno dele. Isso implica que ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e que sua derivada existe e é contínua.

Passo 3

Agora, considerando que e são analíticas, sabemos que ambas têm derivadas que existem e são contínuas nos pontos onde são analíticas. Como a soma de duas funções diferenciáveis também é diferenciável, podemos afirmar que será diferenciável se e o forem.

Passo 4

Vamos formalizar isso. Consideremos a derivada de :

Passo 5

Podemos separar os termos no numerador:

Passo 6

Como e são analíticas, sabemos que:

Passo 7

Portanto, somando essas duas expressões, temos:

Passo 8

Assim, mostramos que a derivada de é a soma das derivadas de e , e como é diferenciável, concluímos que é analítica.

Resposta

Então, provamos que se e são funções analíticas, então também é analítica e sua derivada é dada por .

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