Prove as regras de derivação complexas (Note que são iguais as regras do cálculo!): se
e
são analíticas, então:
a)
é analítica e
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se
e
são funções analíticas, então a soma
também é analítica e que a derivada de
é igual à soma das derivadas de
e
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função analítica e como as derivadas se comportam com somas de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica no contexto de funções de variável complexa. Uma função
é dita ser analítica em um ponto se ela é diferenciável nesse ponto e em um entorno dele. Isso implica que ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e que sua derivada existe e é contínua.
Passo 3
Agora, considerando que
e
são analíticas, sabemos que ambas têm derivadas que existem e são contínuas nos pontos onde são analíticas. Como a soma de duas funções diferenciáveis também é diferenciável, podemos afirmar que
será diferenciável se
e
o forem.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Consideremos a derivada de
:
Passo 5
Podemos separar os termos no numerador:
Passo 6
Como
e
são analíticas, sabemos que:
Passo 7
Portanto, somando essas duas expressões, temos:
Passo 8
Assim, mostramos que a derivada de
é a soma das derivadas de
e
, e como
é diferenciável, concluímos que
é analítica.
Resposta
Então, provamos que se
e
são funções analíticas, então
também é analítica e sua derivada é dada por
.