Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado :
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o vetor tangente unitário no ponto onde o parâmetro para a curva dada por . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de vetores e a normalização para encontrar o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente da derivada:
  1. Para :
    Usamos a regra do produto:
  2. Para :
    A derivada de é , então:
  3. Para :
    A derivada de é , então:
Assim, a derivada completa é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto :
Portanto:

Passo 5

Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar . Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário é:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é .

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a) ;
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d) .
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c) ;