Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor de parâmetro dado
:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o vetor tangente unitário no ponto onde o parâmetro
para a curva dada por
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de vetores e a normalização para encontrar o vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada componente da derivada:
-
Para
:
Usamos a regra do produto: -
Para
:
A derivada deé , então: -
Para
:
A derivada deé , então:
Assim, a derivada completa é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto
:
Portanto:
Passo 5
Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar
. Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário é:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto
é
.