Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t. r(t) = < t^3 + 3t, t^2 + 1, 3t + 4 >, t = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos encontrar o vetor tangente unitário T(t) no ponto onde o parâmetro t é igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

Para encontrar o vetor tangente, primeiro precisamos calcular a derivada da função vetorial r(t). A função dada é:
Vamos derivar cada componente em relação a t:

Passo 3

Agora, substituímos na derivada para encontrar o vetor tangente no ponto específico:

Passo 4

Para obter o vetor tangente unitário T(t), precisamos normalizar o vetor tangente . Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude (comprimento). Primeiro, calculamos a magnitude:

Passo 5

Agora, dividimos cada componente do vetor tangente pela sua magnitude para obter o vetor unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto onde é:

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