Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
©
©
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma curva que é definida por equações paramétricas:
,
e
. Queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto específico
. A matéria que estamos usando aqui é “Cálculo Diferencial”, que estuda como se comportam as funções e as suas taxas de variação. Para resolver, vamos precisar encontrar a derivada da curva e, em seguida, usar essa derivada para escrever as equações paramétricas da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o valor de
que corresponde ao ponto
. Para isso, vamos resolver as três equações que definem a curva.
- Para
, queremos que . Assim, temos:
O que nos dá:
Agora que sabemos que
, precisamos verificar se esse valor de
também resulta em
para as outras duas equações.
-
Para
: -
Para
:
Vimos que quando
, obtemos o ponto
. Agora, vamos calcular as derivadas das funções paramétricas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas para achar a direção da reta tangente.
-
A derivada de
em relação a : -
A derivada de
em relação a : -
A derivada de
em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
.
- Para
, . - Para
, . - Para
, .
Agora sabemos que as derivadas em
são:
Com essas informações, podemos formar a reta tangente.
Passo 4
A equação da reta tangente no ponto
pode ser escrita parametrizando a linha a partir deste ponto usando as taxas de variação que encontramos. Se chamarmos o parâmetro da reta de
, podemos escrever:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim, completamos as equações paramétricas da reta tangente.
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são: