Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
© x=e^-t cos t, y=e^-t sen t, z=e^-t ; (1,0,1)

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma curva que é definida por equações paramétricas: x=e^-t cos t, y=e^-t sin t e z=e^-t. Queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto específico (1, 0, 1). A matéria que estamos usando aqui é “Cálculo Diferencial”, que estuda como se comportam as funções e as suas taxas de variação. Para resolver, vamos precisar encontrar a derivada da curva e, em seguida, usar essa derivada para escrever as equações paramétricas da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o valor de t que corresponde ao ponto (1, 0, 1). Para isso, vamos resolver as três equações que definem a curva.
  1. Para z=e^-t, queremos que z = 1. Assim, temos: 1 = e^-t
    O que nos dá:
    e^-t = 1 implies -t = 0 implies t = 0
Agora que sabemos que t = 0, precisamos verificar se esse valor de t também resulta em (1, 0, 1) para as outras duas equações.
  1. Para x=e^-t cos t:
    x = e^0 cos(0) = 1 cdot 1 = 1
  2. Para y=e^-t sin t:
    y = e^0 sin(0) = 1 cdot 0 = 0
Vimos que quando t = 0, obtemos o ponto (1, 0, 1). Agora, vamos calcular as derivadas das funções paramétricas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas para achar a direção da reta tangente.
  1. A derivada de x em relação a t:
    dxdt = ddt(e^-t cos t) = -e^-t cos t + e^-t (-sin t) = e^-t(-cos t - sin t)
  2. A derivada de y em relação a t:
    dydt = ddt(e^-t sin t) = -e^-t sin t + e^-t cos t = e^-t(cos t - sin t)
  3. A derivada de z em relação a t:
    dzdt = ddt(e^-t) = -e^-t
Agora, vamos avaliar essas derivadas em t = 0.
  1. Para t = 0, dxdt = e^0(-cos(0) - sin(0)) = 1 cdot (-1 - 0) = -1.
  2. Para t = 0, dydt = e^0(cos(0) - sin(0)) = 1 cdot (1 - 0) = 1.
  3. Para t = 0, dzdt = -e^0 = -1.
Agora sabemos que as derivadas em t = 0 são:
dxdt = -1, dydt = 1, dzdt = -1
Com essas informações, podemos formar a reta tangente.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto (1, 0, 1) pode ser escrita parametrizando a linha a partir deste ponto usando as taxas de variação que encontramos. Se chamarmos o parâmetro da reta de s, podemos escrever:
  • Para x:
x = 1 - s
  • Para y:
y = 0 + s
  • Para z:
z = 1 - s
Assim, completamos as equações paramétricas da reta tangente.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
x = 1 - s, y = s, z = 1 - s

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