Determine a série de Taylor ou Maclaurin das funções dadas abaixo em torno de x0 :
f(x)=ln (x+1), x0=0

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a série de Taylor (ou Maclaurin, que é o caso específico em que x0 = 0) da função f(x) = ln(x + 1). Para resolver isso, a gente vai precisar entender a fórmula da série de Taylor. Em resumo, a série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto x0 é dada por:
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)2!(x - x0)^2 + f'''(x0)3!(x - x0)^3 + ldots
Nesse caso específico, como estamos em torno de x0 = 0, a fórmula se adapta para:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + ldots
Então, vamos calcular as derivadas da função e avaliar no ponto x = 0.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(0):
f(0) = ln(0 + 1) = ln(1) = 0
Agora, vamos calcular a primeira derivada f'(x):
f'(x) = ddx(ln(x + 1)) = 1x + 1
Agora avaliamos no ponto x = 0:
f'(0) = 10 + 1 = 1

Passo 3

Vamos agora calcular a segunda derivada f''(x):
f''(x) = ddx(1x + 1) = -1(x + 1)^2
Avaliamos novamente em x = 0:
f''(0) = -1(0 + 1)^2 = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular a terceira derivada f'''(x):
f'''(x) = ddx(-1(x + 1)^2) = 2(x + 1)^3
E de novo, avaliando em x = 0:
f'''(0) = 2(0 + 1)^3 = 2

Passo 5

Por último, a quarta derivada f^(4)(x):
f^(4)(x) = ddx(2(x + 1)^3) = -6(x + 1)^4
E avaliamos em x = 0:
f^(4)(0) = -6(0 + 1)^4 = -6

Passo 6

Agora que temos f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e f^(4)(0), vamos juntar tudo na fórmula da série de Taylor:
f(x) = 0 + 1x + -12!x^2 + 23!x^3 + -64!x^4 + ldots
Isso simplifica para:
f(x) = x - x^22 + x^33 - x^412 + ldots
Essa série continua infinitamente. Mas, resumindo, a série de Maclaurin de f(x) = ln(x + 1) é:
sumn=1^infty (-1)^n-1n x^n, |x| < 1

Resposta

A série de Maclaurin para f(x) = ln(x + 1) em torno de x0 = 0 é:
sumn=1^infty (-1)^n-1n x^n, |x| < 1

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