Determine a série de Taylor ou Maclaurin das funções dadas abaixo em torno de
:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a série de Taylor (ou Maclaurin, que é o caso específico em que
) da função
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender a fórmula da série de Taylor. Em resumo, a série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
Nesse caso específico, como estamos em torno de
, a fórmula se adapta para:
Então, vamos calcular as derivadas da função e avaliar no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, vamos calcular a primeira derivada
:
Agora avaliamos no ponto
:
Passo 3
Vamos agora calcular a segunda derivada
:
Avaliamos novamente em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a terceira derivada
:
E de novo, avaliando em
:
Passo 5
Por último, a quarta derivada
:
E avaliamos em
:
Passo 6
Agora que temos
,
,
,
e
, vamos juntar tudo na fórmula da série de Taylor:
Isso simplifica para:
Essa série continua infinitamente. Mas, resumindo, a série de Maclaurin de
é:
Resposta
A série de Maclaurin para
em torno de
é:
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3-32 Derive a função.
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