Determine a série de Taylor ou Maclaurin das funções dadas abaixo em torno de :

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a série de Taylor (ou Maclaurin, que é o caso específico em que ) da função . Para resolver isso, a gente vai precisar entender a fórmula da série de Taylor. Em resumo, a série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
Nesse caso específico, como estamos em torno de , a fórmula se adapta para:
Então, vamos calcular as derivadas da função e avaliar no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular :
Agora, vamos calcular a primeira derivada :
Agora avaliamos no ponto :

Passo 3

Vamos agora calcular a segunda derivada :
Avaliamos novamente em :

Passo 4

Agora, vamos calcular a terceira derivada :
E de novo, avaliando em :

Passo 5

Por último, a quarta derivada :
E avaliamos em :

Passo 6

Agora que temos , , , e , vamos juntar tudo na fórmula da série de Taylor:
Isso simplifica para:
Essa série continua infinitamente. Mas, resumindo, a série de Maclaurin de é:

Resposta

A série de Maclaurin para em torno de é:

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3-32 Derive a função.
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