lim x 4 3 x^2-17 x+204 x^2-25 x+36

Passo 1

Vamos lá! O exercício que a gente tem é um limite que precisa ser resolvido. O conteúdo aqui é cálculo de limites, que é uma parte fundamental da matemática, principalmente no cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como simplificar a expressão e aplicar a regra do limite. O que a gente quer encontrar é o valor que a função se aproxima quando x se aproxima de 4.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de x por 4 na expressão para ver o que acontece:
3(4)^2 - 17(4) + 204(4)^2 - 25(4) + 36
Fazendo as contas, fica assim:
Numerador:
3(16) - 68 + 20 = 48 - 68 + 20 = 0
Denominador:
4(16) - 100 + 36 = 64 - 100 + 36 = 0
Então, temos uma indeterminação do tipo 00. Isso significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Vamos ver como fazer isso!
Para o numerador 3x^2 - 17x + 20, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 3 times 20 = 60 e somados dão -17. Esses números são -12 e -5. Podemos reescrever a expressão assim:
3x^2 - 12x - 5x + 20 = 3x(x - 4) - 5(x - 4) = (3x - 5)(x - 4)
Agora o numerador ficou assim: (3x - 5)(x - 4).
Agora, vamos para o denominador 4x^2 - 25x + 36. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 4 times 36 = 144 e somados dão -25. Esses números são -9 e -16. Reescrevendo:
4x^2 - 16x - 9x + 36 = 4x(x - 4) - 9(x - 4) = (4x - 9)(x - 4)
Então o denominador ficou assim: (4x - 9)(x - 4).

Passo 4

Agora, substituímos essas fatorações na nossa expressão original:
(3x - 5)(x - 4)(4x - 9)(x - 4)
Notamos que (x - 4) é comum em cima e embaixo, então podemos simplificar:
3x - 54x - 9

Passo 5

Agora, vamos substituir x novamente por 4 para encontrar o limite:
3(4) - 54(4) - 9 = 12 - 516 - 9 = 77 = 1

Resposta

Portanto, o limite é igual a 1.

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