Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto indicado.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações e no ponto . Essa questão envolve conceitos de geometria espacial, especificamente sobre curvas e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que estamos lidando. As equações representam uma esfera de raio 2 centrada na origem, e é um plano vertical. A interseção dessas duas equações forma uma curva, que, nesse caso, é um círculo. Queremos achar a reta que é tangente a esse círculo no ponto .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos de um vetor diretor dessa reta. A forma mais fácil de encontrar esse vetor é calculando o vetor tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas vectoriais ou o produto vetorial dos gradientes das superfícies.

Passo 4

Vamos calcular os gradientes das superfícies dadas. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é dado por .
Para a esfera :
Para o plano :

Passo 5

O vetor tangente à curva de interseção das duas superfícies no ponto pode ser encontrado pelo produto vetorial dos gradientes dessas superfícies:
Vamos calcular isso no ponto :
Agora, calculamos o produto vetorial:

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor da reta tangente, podemos escrever as equações paramétricas da reta. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto com vetor diretor é:
onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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e
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