Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o termo geral da sequência das somas parciais dessa série:
. Isso envolve conceitos de séries infinitas e convergência. Precisaremos usar técnicas de análise de séries, como frações parciais e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. O denominador é
, que podemos escrever como
. Assim, o termo geral fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a soma parcial
. Para isso, vamos tentar simplificar
usando frações parciais. Observando o denominador, podemos reescrever
como:
Passo 4
Vamos tentar expressar
de uma forma que facilite a soma. Observe que:
Isso porque:
Passo 5
Com essa expressão, a soma parcial fica:
Isso é uma soma telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 6
Vamos expandir a soma para ver o que acontece:
Note que os termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Passo 7
Simplificando:
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais.
Passo 8
Agora, para verificar a convergência da série, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Resposta
O termo geral da sequência de somas parciais é
. A série converge e a soma dela é
.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes. Calcule o Wronskiano.
e
Se
, se
e
, mostre que as derivadas parciais
e
embora existam na origem, a função
não é diferenciável em
.
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto
indicado.
©
©
Encontre o termo geral da soma da série
e verifique se ela é convergente.