Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível. sumn=1^infty 11.2 3 cdot 4 cdot 5 cdot cdots cdot n cdot(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o termo geral da sequência das somas parciais dessa série: sumn=1^infty 11 cdot 2 cdot 3 cdot cdot cdot n cdot (n+2). Isso envolve conceitos de séries infinitas e convergência. Precisaremos usar técnicas de análise de séries, como frações parciais e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. O denominador é 1 cdot 2 cdot 3 cdot cdot cdot n cdot (n+2), que podemos escrever como n! cdot (n+2). Assim, o termo geral fica:
an = 1n! cdot (n+2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a soma parcial Sn = sumk=1^n ak. Para isso, vamos tentar simplificar an usando frações parciais. Observando o denominador, podemos reescrever an como:
an = 1n! cdot (n+2) = 1(n+2) cdot n!

Passo 4

Vamos tentar expressar an de uma forma que facilite a soma. Observe que:
1(n+2) cdot n! = 1(n+1)! - 1(n+2)!
Isso porque:
1(n+1)! - 1(n+2)! = n+2 - 1(n+2)! = n+1(n+2)! = 1(n+1)(n!) = 1(n+1)!

Passo 5

Com essa expressão, a soma parcial fica:
Sn = sumk=1^n ( 1(k+1)! - 1(k+2)! )
Isso é uma soma telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 6

Vamos expandir a soma para ver o que acontece:
Sn = ( 12! - 13! ) + ( 13! - 14! ) + cdots + ( 1(n+1)! - 1(n+2)! )
Note que os termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Sn = 12! - 1(n+2)!

Passo 7

Simplificando:
Sn = 12 - 1(n+2)!
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais.

Passo 8

Agora, para verificar a convergência da série, vamos analisar o comportamento de Sn quando n tende ao infinito.
limn to infty Sn = limn to infty ( 12 - 1(n+2)! ) = 12 - 0 = 12

Resposta

O termo geral da sequência de somas parciais é Sn = 12 - 1(n+2)!. A série converge e a soma dela é 12.

Exercícios relacionados