Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o termo geral da sequência das somas parciais dessa série: . Isso envolve conceitos de séries infinitas e convergência. Precisaremos usar técnicas de análise de séries, como frações parciais e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. O denominador é , que podemos escrever como . Assim, o termo geral fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a soma parcial . Para isso, vamos tentar simplificar usando frações parciais. Observando o denominador, podemos reescrever como:

Passo 4

Vamos tentar expressar de uma forma que facilite a soma. Observe que:
Isso porque:

Passo 5

Com essa expressão, a soma parcial fica:
Isso é uma soma telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 6

Vamos expandir a soma para ver o que acontece:
Note que os termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Passo 7

Simplificando:
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais.

Passo 8

Agora, para verificar a convergência da série, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito.

Resposta

O termo geral da sequência de somas parciais é . A série converge e a soma dela é .

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e
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Encontre o termo geral da soma da série e verifique se ela é convergente.