Verifique se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes. Calcule o Wronskiano.
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções: , e . O objetivo é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou não e, para isso, vamos calcular o Wronskiano delas. Linearmente independente significa que nenhuma dessas funções pode ser escrita como combinação das outras. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar isso, envolvendo derivadas das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. Para três funções, o Wronskiano é o determinante de uma matriz onde cada linha corresponde a uma função e suas primeiras duas derivadas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 3

Vamos montar a matriz do Wronskiano. Precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de cada função:
  • Para :
  • Para :
    • Usamos a regra do produto:
    • Novamente aplicando a regra do produto:
  • Para :
    • Usando a regra do produto:
    • E mais uma vez:

Passo 4

Agora, montamos a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:

Passo 5

Para calcular o determinante, podemos fatorar de cada coluna:

Passo 6

Agora, vamos calcular esse determinante. Observando a matriz, percebemos que as colunas são polinômios em multiplicados por . Após calcular o determinante (pode ser um pouco trabalhoso, mas seguindo as regras de expansão de determinantes), descobrimos que:

Passo 7

Simplificando, temos:

Resposta

O Wronskiano das funções é . Como para e , as funções , e são linearmente independentes nesse intervalo.

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