Verifique se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes. Calcule o Wronskiano. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções: , e . O objetivo é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou não e, para isso, vamos calcular o Wronskiano delas. Linearmente independente significa que nenhuma dessas funções pode ser escrita como combinação das outras. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar isso, envolvendo derivadas das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. Para três funções, o Wronskiano é o determinante de uma matriz onde cada linha corresponde a uma função e suas primeiras duas derivadas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 3
Vamos montar a matriz do Wronskiano. Precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de cada função:
Para :
Para :
Usamos a regra do produto:
Novamente aplicando a regra do produto:
Para :
Usando a regra do produto:
E mais uma vez:
Passo 4
Agora, montamos a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Passo 5
Para calcular o determinante, podemos fatorar de cada coluna:
Passo 6
Agora, vamos calcular esse determinante. Observando a matriz, percebemos que as colunas são polinômios em multiplicados por . Após calcular o determinante (pode ser um pouco trabalhoso, mas seguindo as regras de expansão de determinantes), descobrimos que:
Passo 7
Simplificando, temos:
Resposta
O Wronskiano das funções é . Como para e , as funções , e são linearmente independentes nesse intervalo.