Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto P0 indicado.
(b) { x^2 + y^2 + z^2 = 14; x = 1 ; P_0(1, 3, 2) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações:
  1. – que é a equação de uma esfera com raio .
  2. – que é um plano vertical paralelo ao eixo YZ.
A interseção dessas duas equações forma um círculo. O ponto está nesse círculo, e queremos encontrar a reta tangente a esse círculo nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a direção dessa reta tangente usando derivadas ou vetores normais das superfícies envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que estamos fazendo. Temos uma esfera e um plano que se cortam formando um círculo. O ponto está nesse círculo. A reta tangente que queremos é aquela que toca o círculo exatamente nesse ponto e segue na direção “aparente” da curva naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar um vetor diretor para essa reta. Esse vetor estará na direção da derivada da curva no ponto . Como a curva é a interseção de duas superfícies, podemos usar os vetores normais dessas superfícies para encontrar o vetor tangente.

Passo 4

Vamos encontrar os vetores normais das duas superfícies no ponto .
  • Para a esfera , o vetor normal é dado pelas derivadas parciais:
    No ponto , isso fica:
  • Para o plano , o vetor normal é simplesmente:

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor tangente à curva de interseção, calculamos o produto vetorial entre os vetores normais das duas superfícies. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os normais, ou seja, paralelo à reta tangente.
Calculando:
Então, o vetor diretor é .

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto e o vetor .
As equações paramétricas são da forma:
Onde é o ponto inicial e é o vetor diretor.
Substituindo:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
onde é o parâmetro.

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