Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto indicado.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações:
– que é a equação de uma esfera com raio .
– que é um plano vertical paralelo ao eixo YZ.
A interseção dessas duas equações forma um círculo. O ponto está nesse círculo, e queremos encontrar a reta tangente a esse círculo nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a direção dessa reta tangente usando derivadas ou vetores normais das superfícies envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que estamos fazendo. Temos uma esfera e um plano que se cortam formando um círculo. O ponto está nesse círculo. A reta tangente que queremos é aquela que toca o círculo exatamente nesse ponto e segue na direção “aparente” da curva naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar um vetor diretor para essa reta. Esse vetor estará na direção da derivada da curva no ponto . Como a curva é a interseção de duas superfícies, podemos usar os vetores normais dessas superfícies para encontrar o vetor tangente.
Passo 4
Vamos encontrar os vetores normais das duas superfícies no ponto .
Para a esfera , o vetor normal é dado pelas derivadas parciais:
No ponto , isso fica:
Para o plano , o vetor normal é simplesmente:
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor tangente à curva de interseção, calculamos o produto vetorial entre os vetores normais das duas superfícies. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os normais, ou seja, paralelo à reta tangente.
Calculando:
Então, o vetor diretor é .
Passo 6
Agora que temos o vetor diretor, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto e o vetor .