Parametrize as superfícies em R^3 dadas pelas equações: x^2 + y^2 = 9 e 0 <= z <= 3 (cilindro em R^3 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa parametrizar a superfície de um cilindro no espaço tridimensional, definido pelas equações e . Isso significa que estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com cilindros circulares. Para parametrizar, vamos precisar usar coordenadas polares e considerar a restrição do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Essa é a equação de um círculo com raio 3 no plano . Para parametrizar um círculo, a gente costuma usar as coordenadas polares, onde qualquer ponto no círculo pode ser descrito por um ângulo variando de a .

Passo 3

Agora, para transformar isso em coordenadas cartesianas, usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o raio do círculo. No nosso caso, , então:

Passo 4

Como o cilindro se estende ao longo do eixo de a , o valor de pode ser qualquer número dentro desse intervalo. Portanto, será um dos parâmetros na nossa parametrização.

Passo 5

Agora, juntando tudo, a parametrização da superfície do cilindro é dada por:
Onde varia de a e varia de a .

Resposta

A parametrização da superfície do cilindro é:
com e .

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