Prove que integrala^t f(x) d x ; a >= 0 é de ordem exponencial sempre que f seja de ordem exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar que a integral , onde , é de ordem exponencial, desde que a função também seja de ordem exponencial. Isso está dentro do estudo de transformadas de Laplace e funções de ordem exponencial. Para resolver, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e como isso se comporta quando a gente integra a função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de ordem exponencial. Uma função |f(t)| <= M e^a t para todo t >= c é dita ser de ordem exponencial se existe uma constante e números e tais que:
Isso basicamente significa que não cresce mais rápido que uma função exponencial quando aumenta.

Passo 3

Agora, queremos provar que a integral F(t) = integrala^t f(x) , dx também é de ordem exponencial. Vamos chamar essa integral de |F(t)| <= K e^b t para todo t >= d :
Precisamos mostrar que existe uma constante e números e tais que:

Passo 4

Sabemos que |f(x)| <= M e^a x para todo x >= c é de ordem exponencial, então:
|F(t)| = | integrala^t f(x) , dx | <= integrala^t |f(x)| , dx <= integrala^t M e^a x , dx
Usando essa desigualdade na integral :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral integrala^t M e^a x , dx = Ma ( e^a t - e^a a ) :
= Ma e^a t - Ma e^a a
Para simplificar, podemos considerar que para , o termo é uma constante e pode ser absorvido na constante .

Passo 6

Portanto, temos:
|F(t)| <= Ma e^a t + constante <= K e^a t
Onde .
Isso mostra que também é de ordem exponencial, já que está limitada por uma função exponencial .

Resposta

Concluímos que a integral é de ordem exponencial sempre que a função for de ordem exponencial.

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