Dois lados de uma área triangular medem e , com possíveis erros de 10 cm . O ângulo entre esses lados é de , com possível erro de . Qual o erro aproximado da área?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma área triangular onde dois lados medem e , com possíveis erros de (que é igual a ). O ângulo entre esses lados é de , com um possível erro de . Queremos descobrir qual é o erro aproximado na área desse triângulo.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles:
Vamos precisar calcular como os erros nos lados e , e no ângulo , afetam a área .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada variável afeta a área. A fórmula que vamos usar para encontrar o erro aproximado na área é baseada em derivadas parciais, que nos dizem como pequenas variações em , e alteram . A fórmula é:
Onde:
  • é o erro na área.
  • e são os erros nos lados.
  • é o erro no ângulo.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos nas derivadas:
  • (lembrando que e )
  • (precisamos converter para radianos: )
Calculando cada parte:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, somamos todos esses contribuintes para encontrar o erro total na área:

Resposta

O erro aproximado na área do triângulo é de aproximadamente .

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