Dois lados de uma área triangular medem e , com possíveis erros de 10 cm . O ângulo entre esses lados é de , com possível erro de . Qual o erro aproximado da área?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma área triangular onde dois lados medem e , com possíveis erros de (que é igual a ). O ângulo entre esses lados é de , com um possível erro de . Queremos descobrir qual é o erro aproximado na área desse triângulo.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles:
Vamos precisar calcular como os erros nos lados e , e no ângulo , afetam a área .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada variável afeta a área. A fórmula que vamos usar para encontrar o erro aproximado na área é baseada em derivadas parciais, que nos dizem como pequenas variações em , e alteram . A fórmula é:
Onde:
é o erro na área.
e são os erros nos lados.
é o erro no ângulo.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos nas derivadas:
(lembrando que e )
(precisamos converter para radianos: )
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, somamos todos esses contribuintes para encontrar o erro total na área:
Resposta
O erro aproximado na área do triângulo é de aproximadamente .