Prove que lim s infty s £f é limitado para toda função f de ordem exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem que provar que o limite quando tende ao infinito de é limitado, ou seja, não cresce sem parar. Aqui, representa a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida é Análise de Transformadas de Laplace e Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de ordem exponencial e como se comporta a transformada de Laplace dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de ordem exponencial. Uma função |f(t)| <= M e^a t para todo t >= 0 é de ordem exponencial se existe uma constante e um número real tal que:
Isso significa que a função não cresce mais rápido do que uma exponencial. Esse conceito é importante porque garante que a transformada de Laplace da função existe para .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de Lambdaf(s) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt é dada por:
Como é de ordem exponencial, sabemos que essa integral converge para .

Passo 4

A gente precisa avaliar o limite:
lims to infty s Lambdaf(s)
Vamos substituir a definição da transformada de Laplace na expressão:
s Lambdaf(s) = s integral0^infty e^-s t f(t) , dt

Passo 5

Para entender o comportamento desse limite, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir s Lambdaf(s) = s integral0^infty e^-u f(us) dus = integral0^infty e^-u f(us) du , o que implica que e . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de f(us) = f(0) + f'(0)us + o(1s) quando tende ao infinito. Como tende a zero, e é bem comportada por ser de ordem exponencial, podemos expandir em série de Taylor em torno de zero:
Onde representa termos de ordem menor que .

Passo 7

Substituindo essa expansão na integral:
integral0^infty e^-u ( f(0) + f'(0)us + o(1s) ) du
Podemos separar a integral:
f(0) integral0^infty e^-u du + f'(0)1s integral0^infty u e^-u du + integral0^infty e^-u o(1s) du

Passo 8

Calculando as integrais:
  1. f(0) cdot 1 + f'(0)1s cdot 1 + o(1s)
  2. (essa é a média de uma distribuição exponencial)
  3. O último termo envolve que quando integrado continua sendo
Então, a expressão fica:

Passo 9

Simplificando:
f(0) + f'(0)s + o(1s)
Agora, vamos ver o que acontece quando lims to infty ( f(0) + f'(0)s + o(1s) ) = f(0) tende ao infinito. Os termos e tendem a zero, então o limite fica:

Resposta

Portanto, o limite é igual a , que é um valor finito. Assim, demonstramos que esse limite é limitado para toda função de ordem exponencial.

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