Prove que
é limitado para toda função
de ordem exponencial.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem que provar que o limite quando
tende ao infinito de
é limitado, ou seja, não cresce sem parar. Aqui,
representa a transformada de Laplace da função
. A matéria envolvida é Análise de Transformadas de Laplace e Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de ordem exponencial e como se comporta a transformada de Laplace dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de ordem exponencial. Uma função
é de ordem exponencial se existe uma constante
e um número real
tal que:
Isso significa que a função não cresce mais rápido do que uma exponencial. Esse conceito é importante porque garante que a transformada de Laplace da função existe para
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de
é dada por:
Como
é de ordem exponencial, sabemos que essa integral converge para
.
Passo 4
A gente precisa avaliar o limite:
Vamos substituir a definição da transformada de Laplace na expressão:
Passo 5
Para entender o comportamento desse limite, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
, o que implica que
e
. Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Como
tende a zero, e
é bem comportada por ser de ordem exponencial, podemos expandir
em série de Taylor em torno de zero:
Onde
representa termos de ordem menor que
.
Passo 7
Substituindo essa expansão na integral:
Podemos separar a integral:
Passo 8
Calculando as integrais:
-
-
(essa é a média de uma distribuição exponencial) - O último termo envolve
que quando integrado continua sendo
Então, a expressão fica:
Passo 9
Simplificando:
Agora, vamos ver o que acontece quando
tende ao infinito. Os termos
e
tendem a zero, então o limite fica:
Resposta
Portanto, o limite
é igual a
, que é um valor finito. Assim, demonstramos que esse limite é limitado para toda função
de ordem exponencial.
Exercícios relacionados
Calcule, com duas casas decimais, os valores de:
e
.
Ache a transformada de Laplace de cada uma das funções:
Parametrize as superfícies em
dadas pelas equações:
e
(cilindro em
)
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto
indicado.
(b)
(b)