Prove que é limitado para toda função de ordem exponencial.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem que provar que o limite quando tende ao infinito de é limitado, ou seja, não cresce sem parar. Aqui, representa a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida é Análise de Transformadas de Laplace e Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de ordem exponencial e como se comporta a transformada de Laplace dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de ordem exponencial. Uma função é de ordem exponencial se existe uma constante e um número real tal que:
Isso significa que a função não cresce mais rápido do que uma exponencial. Esse conceito é importante porque garante que a transformada de Laplace da função existe para .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de é dada por:
Como é de ordem exponencial, sabemos que essa integral converge para .

Passo 4

A gente precisa avaliar o limite:
Vamos substituir a definição da transformada de Laplace na expressão:

Passo 5

Para entender o comportamento desse limite, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , o que implica que e . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Como tende a zero, e é bem comportada por ser de ordem exponencial, podemos expandir em série de Taylor em torno de zero:
Onde representa termos de ordem menor que .

Passo 7

Substituindo essa expansão na integral:
Podemos separar a integral:

Passo 8

Calculando as integrais:
  1. (essa é a média de uma distribuição exponencial)
  2. O último termo envolve que quando integrado continua sendo
Então, a expressão fica:

Passo 9

Simplificando:
Agora, vamos ver o que acontece quando tende ao infinito. Os termos e tendem a zero, então o limite fica:

Resposta

Portanto, o limite é igual a , que é um valor finito. Assim, demonstramos que esse limite é limitado para toda função de ordem exponencial.

Exercícios relacionados

Calcule, com duas casas decimais, os valores de: e .
Ache a transformada de Laplace de cada uma das funções:
Parametrize as superfícies em dadas pelas equações: e (cilindro em )
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto indicado.
(b)