Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas:
E a gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetor, especificamente derivadas para encontrar a direção da tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos resolver para cada coordenada:
Para :
Vamos verificar se também satisfaz as outras coordenadas.
Para com :
Para com :
Então, é o valor que nos dá o ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada das funções , e em relação a . Essas derivadas nos darão o vetor direção da tangente à curva no ponto desejado.
Calculemos as derivadas:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Então, o vetor direção da tangente é .

Passo 5

Com o ponto de tangência e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A fórmula geral para as equações paramétricas de uma reta é:
Onde é o ponto da reta e é o vetor direção. Aqui, vamos usar como o parâmetro.

Passo 6

Substituindo os valores:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:

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