Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série: . O objetivo aqui é descobrir se essa série converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é perfeito para séries que envolvem fatorial, como essa. O Teste da Razão nos ajuda a analisar o comportamento dos termos da série quando tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Teste da Razão. Ele diz que, para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar an = n!100^n na nossa série. Aqui, temos:
an+1 = (n+1)!100^n+1
Então, será:
Passo 4
Vamos montar a razão an+1an = (n+1)!100^n+1 times 100^nn! = (n+1) cdot n!100 cdot 100^n times 100^nn! = n+1100 :
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty n+1100 = limn to infty n100 + 1100 = infty tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite é maior que 1, de acordo com o Teste da Razão, isso significa que a série diverge.