Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série: . O objetivo aqui é descobrir se essa série converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é perfeito para séries que envolvem fatorial, como essa. O Teste da Razão nos ajuda a analisar o comportamento dos termos da série quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Teste da Razão. Ele diz que, para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar na nossa série. Aqui, temos:
Então, será:

Passo 4

Vamos montar a razão :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é maior que 1, de acordo com o Teste da Razão, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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