Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(k) sumn=1^infty raizn^4+1n^3+n^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty raizn^4+1n^3+n^2
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando n^2n^3 = 1n fica bem grande. Observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • No numerador:
  • No denominador:
Assim, para grandes valores de , a expressão da série fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série harmônica:
sumn=1^infty 1n
Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não soma a um valor finito.

Passo 4

Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos mostrar que os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série harmônica para todo raizn^4+1n^3+n^2 >= n^22n^3 = 12n suficientemente grande.
Vamos comparar:
Aqui usamos que para .

Passo 5

Como mostramos que:
raizn^4+1n^3+n^2 >= 12n
e sabemos que:
sumn=1^infty 12n
também diverge (já que é uma série harmônica multiplicada por uma constante), pelo Teste da Comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty raizn^4+1n^3+n^2 diverge.

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