Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(k)
(k)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando
fica bem grande. Observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
- No numerador:
≈ - No denominador:
≈
Assim, para grandes valores de
, a expressão da série fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série harmônica:
Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não soma a um valor finito.
Passo 4
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos mostrar que os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série harmônica para todo
suficientemente grande.
Vamos comparar:
Aqui usamos que
para
.
Passo 5
Como mostramos que:
e sabemos que:
também diverge (já que é uma série harmônica multiplicada por uma constante), pelo Teste da Comparação, nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(e)
(e)
Prove que a sequência definida por
é limitada
e é decrescente. Deduza do teorema de Bolzano-Weierstrass que essa sequência é convergente. Calcule o limite dessa sequência.
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
Calcule
e
sabendo que
.