Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como o teste da comparação funciona para aplicar direitinho aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Perceba que conforme fica muito grande, o domina o termo , então podemos simplificar a expressão para entender o comportamento da série.

Passo 3

Vamos simplificar . Quando é grande, . Portanto, o termo geral se aproxima de .

Passo 4

Sabemos que a série é uma série p, onde . Como , essa série converge. Agora, vamos usar o teste da comparação para comparar nossa série original com essa série conhecida.

Passo 5

No teste da comparação, se temos duas séries e com para todo a partir de certo ponto, e converges, então também converge. Vamos ver se isso vale para nossa série.

Passo 6

Observe que , porque estamos subtraindo 1 dentro da raiz. Portanto:
Isso mostra que nossos termos são maiores que .

Passo 7

No entanto, como e sabemos que converge, não podemos concluir diretamente pela comparação que converge. Precisamos ajustar nossa comparação.

Passo 8

Vamos reescrever o denominador original:
Então,

Passo 9

Para simplificar, podemos dizer que para , . Então:
Logo, temos:

Passo 10

Agora sim, podemos aplicar o teste da comparação. Como é uma série p com e converge, e nossos termos são menores que , podemos concluir que também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

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Determine se as sequências convergem ou divergem:
(k) .
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(k)
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.