Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como o teste da comparação funciona para aplicar direitinho aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Perceba que conforme
fica muito grande, o
domina o termo
, então podemos simplificar a expressão para entender o comportamento da série.
Passo 3
Vamos simplificar
. Quando
é grande,
. Portanto, o termo geral se aproxima de
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. Como
, essa série converge. Agora, vamos usar o teste da comparação para comparar nossa série original com essa série conhecida.
Passo 5
No teste da comparação, se temos duas séries
e
com
para todo
a partir de certo ponto, e
converges, então
também converge. Vamos ver se isso vale para nossa série.
Passo 6
Observe que
, porque estamos subtraindo 1 dentro da raiz. Portanto:
Isso mostra que nossos termos
são maiores que
.
Passo 7
No entanto, como
e sabemos que
converge, não podemos concluir diretamente pela comparação que
converge. Precisamos ajustar nossa comparação.
Passo 8
Vamos reescrever o denominador original:
Então,
Passo 9
Para simplificar, podemos dizer que para
,
. Então:
Logo, temos:
Passo 10
Agora sim, podemos aplicar o teste da comparação. Como
é uma série p com
e converge, e nossos termos são menores que
, podemos concluir que
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
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Prove que a sequência definida por
é limitada
e é decrescente. Deduza do teorema de Bolzano-Weierstrass que essa sequência é convergente. Calcule o limite dessa sequência.
Determine se as sequências convergem ou divergem:
(k) .
(k)
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(k)
(k)
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.