Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida por , , no ponto específico . Estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional e vamos precisar usar conceitos de vetores e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o valor de que nos leva ao ponto . Olhando para as equações paramétricas:
Queremos que , então .

Passo 3

Agora que sabemos que no ponto de interesse, vamos encontrar a derivada de cada função paramétrica em relação a . A derivada nos dá a velocidade ou o vetor tangente à curva nesse ponto.

Passo 4

Substituímos nas derivadas para encontrar os componentes do vetor tangente no ponto :
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta no espaço é:
Onde é um ponto na reta e são os componentes do vetor direcional.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:

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Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor do parâmetro dado.
Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor do parâmetro dado.
Encontre o limite.
Determine a derivada da função vetorial.