Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida por , , no ponto específico . Estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional e vamos precisar usar conceitos de vetores e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o valor de que nos leva ao ponto . Olhando para as equações paramétricas:
Queremos que , então .
Passo 3
Agora que sabemos que no ponto de interesse, vamos encontrar a derivada de cada função paramétrica em relação a . A derivada nos dá a velocidade ou o vetor tangente à curva nesse ponto.
Passo 4
Substituímos nas derivadas para encontrar os componentes do vetor tangente no ponto :
Então, o vetor tangente é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta no espaço é:
Onde é um ponto na reta e são os componentes do vetor direcional.
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são: