Encontre o limite.
lim t inftylang<= e^-t i+t-1t+1 j+arctg(t) krang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite quando lim t infty lang<= e^-t i + t-1t+1 j + arctan(t) k rang<= tende ao infinito da seguinte expressão vetorial:
Isso envolve calcular o limite de cada componente do vetor separadamente. Vamos precisar saber como calcular limites de funções exponenciais, racionais e trigonométricas quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente na direção de limt to infty e^-t :
Sabemos que significa . Conforme cresce, aumenta muito, então tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção de limt to infty t - 1t + 1 :
limt to infty 1 - 1t1 + 1t = 1 - 01 + 0 = 1
Para resolver esse limite de uma fração de polinômios, dividimos o numerador e o denominador por , o maior grau presente:

Passo 4

Por último, vamos para a componente na direção de limt to infty arctan(t) :
A função é o arco cuja tangente é . Conforme cresce, se aproxima de , pois a tangente de é infinita.

Resposta

Portanto, o limite da expressão vetorial quando lang<= 0, i + 1, j + pi2, k rang<= tende ao infinito é:

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