Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor do parâmetro dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o vetor tangente unitário no ponto onde para a curva dada pela função vetorial . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o estudo de vetores tangentes e vetores unitários. Vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e normalizar o resultado para achar o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada de um vetor função nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto. Vamos derivar cada componente individualmente:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos avaliar esse vetor no ponto :
Isso significa que o vetor tangente naquele ponto é .

Passo 4

Para encontrar o vetor tangente unitário , precisamos normalizar o vetor tangente que achamos. Normalizar um vetor significa dividi-lo pelo seu comprimento (ou magnitude), transformando-o em um vetor de comprimento 1 na mesma direção.
Primeiro, vamos calcular a magnitude de :

Passo 5

Agora, vamos dividir cada componente do vetor tangente pela sua magnitude para obter o vetor unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é:

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Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor do parâmetro dado.
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Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
Encontre o limite.