Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor do parâmetro
dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o vetor tangente unitário
no ponto onde
para a curva dada pela função vetorial
. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o estudo de vetores tangentes e vetores unitários. Vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e normalizar o resultado para achar o vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada de um vetor função nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto. Vamos derivar cada componente individualmente:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos avaliar esse vetor no ponto
:
Isso significa que o vetor tangente naquele ponto é
.
Passo 4
Para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar o vetor tangente que achamos. Normalizar um vetor significa dividi-lo pelo seu comprimento (ou magnitude), transformando-o em um vetor de comprimento 1 na mesma direção.
Primeiro, vamos calcular a magnitude de
:
Passo 5
Agora, vamos dividir cada componente do vetor tangente
pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto
é:
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no ponto com valor do parâmetro
dado.
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Encontre o limite.