Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor do parâmetro t dado.
r(t) = e^(2t) cos(t) i + e^(2t) sen(t) j + e^(2t) k, t = pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário T(t) para a curva dada pela função vetorial r(t) no ponto onde o parâmetro t é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial r(t). A derivada de uma função vetorial nos dá a taxa de variação da curva em cada ponto, ou seja, a direção da tangente.
A função dada é:
Vamos derivar cada componente em relação a t:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do produto:
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:
Portanto, a derivada da função vetorial é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar no ponto :
Substituindo :
Então,

Passo 5

Para encontrar o vetor tangente unitário T(t), precisamos normalizar . Isso significa dividir o vetor derivado pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :

Passo 6

Agora, dividimos cada componente de pela sua magnitude para obter o vetor tangente unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é:

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