Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor do parâmetro
dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário
para a curva dada pela função vetorial
no ponto onde o parâmetro
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial nos dá a taxa de variação da curva em cada ponto, ou seja, a direção da tangente.
A função dada é:
Vamos derivar cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do produto:
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Portanto, a derivada da função vetorial é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Substituindo
:
Então,
Passo 5
Para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar
. Isso significa dividir o vetor derivado pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Passo 6
Agora, dividimos cada componente de
pela sua magnitude para obter o vetor tangente unitário:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto
é:
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no ponto com valor do parâmetro
dado.
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