Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva em um ponto específico. A curva está definida por três equações paramétricas:
E o ponto dado é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções parametrizadas, para encontrar a direção da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual valor de corresponde ao ponto . Vamos substituir esse ponto nas equações paramétricas para encontrar .
Começando com :
Agora, vamos verificar se satisfaz as outras equações:
Perfeito! Então, o valor de é 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente na curva nesse ponto. Para isso, precisamos calcular o vetor tangente à curva em . O vetor tangente é dado pelas derivadas das funções paramétricas em relação a .
Vamos calcular as derivadas:
Agora, avaliamos essas derivadas em :
Então, o vetor tangente é .

Passo 4

Com o ponto de tangência e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente.
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é um ponto na reta, é o vetor diretor, e é o parâmetro.
Substituindo:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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(i) Determine o vetor posição de uma partícula, dada sua aceleração, e suas velocidades e posições iniciais.
(ii) Utilize o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula.
Determine a derivada da função vetorial.
Se for a voltagem ou potencial em um ponto do plano , então as curvas de nível de são denominadas curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva, a voltagem permanece constante. Dado que
esboce as curvas equipotenciais nas quais e .
Nos exercícios 1-22, encontre e .