Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva em um ponto específico. A curva está definida por três equações paramétricas:
E o ponto dado é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções parametrizadas, para encontrar a direção da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir qual valor de corresponde ao ponto . Vamos substituir esse ponto nas equações paramétricas para encontrar .
Começando com :
Agora, vamos verificar se satisfaz as outras equações:
Perfeito! Então, o valor de é 1.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a reta tangente na curva nesse ponto. Para isso, precisamos calcular o vetor tangente à curva em . O vetor tangente é dado pelas derivadas das funções paramétricas em relação a .
Vamos calcular as derivadas:
Agora, avaliamos essas derivadas em :
Então, o vetor tangente é .
Passo 4
Com o ponto de tangência e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente.
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é um ponto na reta, é o vetor diretor, e é o parâmetro.