(i) Determine o vetor posição de uma partícula, dada sua aceleração, e suas velocidades e posições iniciais.
(ii) Utilize o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula.
(ii) Utilize o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula que está se movendo no espaço, e sabe-se como a aceleração dela varia com o tempo. Além disso, conhecemos a velocidade inicial e a posição inicial da partícula. A pergunta é: como encontrar a posição da partícula em qualquer instante de tempo? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A nossa aceleração é:
Vamos integrar cada componente separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a componente
:
Agora, a componente
:
E por último, a componente
:
Aqui,
,
e
são constantes de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.
Passo 4
Sabemos que a velocidade inicial é
. Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as constantes encontradas, a expressão para a velocidade da partícula fica:
Passo 6
Agora, para encontrar a posição da partícula, usamos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Vamos integrar cada componente da velocidade.
Passo 7
Integrando a componente
:
Integrando a componente
:
Integrando a componente
:
Aqui,
,
e
são constantes de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 8
Sabemos que a posição inicial é
. Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Com as constantes encontradas, a expressão para a posição da partícula fica:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é:
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Se
for a voltagem ou potencial em um ponto
do plano
, então as curvas de nível de
são denominadas curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva, a voltagem permanece constante. Dado que
esboce as curvas equipotenciais nas quais
e
.