(i) Determine o vetor posição de uma partícula, dada sua aceleração, e suas velocidades e posições iniciais.
(ii) Utilize o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula que está se movendo no espaço, e sabe-se como a aceleração dela varia com o tempo. Além disso, conhecemos a velocidade inicial e a posição inicial da partícula. A pergunta é: como encontrar a posição da partícula em qualquer instante de tempo? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A nossa aceleração é:
Vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a componente :
Agora, a componente :
E por último, a componente :
Aqui, , e são constantes de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.

Passo 4

Sabemos que a velocidade inicial é . Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Com as constantes encontradas, a expressão para a velocidade da partícula fica:

Passo 6

Agora, para encontrar a posição da partícula, usamos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Vamos integrar cada componente da velocidade.

Passo 7

Integrando a componente :
Integrando a componente :
Integrando a componente :
Aqui, , e são constantes de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 8

Sabemos que a posição inicial é . Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Para :
Para :
Para :

Passo 9

Com as constantes encontradas, a expressão para a posição da partícula fica:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

Exercícios relacionados

Determine a derivada da função vetorial.
Encontre o limite.
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
Se for a voltagem ou potencial em um ponto do plano , então as curvas de nível de são denominadas curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva, a voltagem permanece constante. Dado que
esboce as curvas equipotenciais nas quais e .