Nos exercícios 1-22, encontre partial f / partial x e partial f / partial y.
f(x, y)=(x^3+(y / 2))^2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, que é útil para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Vamos tratar como uma constante durante essa derivação.

Passo 3

Identificamos a função interna e a função externa para aplicar a regra da cadeia. A função interna é e a função externa é .

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = dfdu cdot partial upartial x
Primeiro, derivamos dfdu = 23 u^-13 em relação a :

Passo 5

Agora, derivamos partial upartial x = partialpartial x ( x^3 + y2 ) = 3x^2 em relação a :

Passo 6

Multiplicamos as duas derivadas:
partial fpartial x = 23 (x^3 + y2)^-13 cdot 3x^2
Simplificando:
partial fpartial x = 2x^2 (x^3 + y2)^-13

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 8

Usamos novamente a regra da cadeia com partial fpartial y = dfdu cdot partial upartial y :
Já tínhamos

Passo 9

Derivamos partial upartial y = partialpartial y ( x^3 + y2 ) = 12 em relação a :

Passo 10

Multiplicamos as duas derivadas:
partial fpartial y = 23 (x^3 + y2)^-13 cdot 12
Simplificando:
partial fpartial y = 13 (x^3 + y2)^-13

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 2x^2 (x^3 + y2)^-13
e
partial fpartial y = 13 (x^3 + y2)^-13

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