Se V(x, y) for a voltagem ou potencial em um ponto (x, y) do plano x y, então as curvas de nível de V são denominadas curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva, a voltagem permanece constante. Dado que
V(x, y) = 8 / raiz(16 + x^2 + y^2)
esboce as curvas equipotenciais nas quais V=2 ; V=1 e V = 1/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre curvas equipotenciais, que são linhas onde a voltagem permanece constante. A gente tem a função da voltagem:
Nosso objetivo é esboçar as curvas equipotenciais para , e . Para isso, vamos precisar entender como manipular essa equação para encontrar a relação entre e em cada caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função a cada um dos valores desejados e resolver para e . Vamos começar com :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 4

Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando isso:

Passo 6

A equação só é satisfeita quando e . Isso significa que, para , a curva equipotencial é apenas o ponto .

Passo 7

Vamos repetir o processo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado:
Subtraindo 16 de ambos os lados:

Passo 8

A equação representa um círculo com centro na origem e raio .

Passo 9

Por fim, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado:
Subtraindo 16 de ambos os lados:

Passo 10

A equação representa um círculo com centro na origem e raio .

Resposta

As curvas equipotenciais são:
  • Para : o ponto .
  • Para : um círculo com centro em e raio .
  • Para : um círculo com centro em e raio .

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