sumn=1^infty 1n(n+1)=1
Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e
sumn=1^infty(3n(n+1)+12^n)=3 sumn=1^infty 1n(n+1)+sumn=1^infty 12^n=3 cdot 1+1=4

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas:
sumn=1^infty 1n(n+1) e sumn=1^infty(3n(n+1)+12^n)
O objetivo é verificar a convergência da segunda série e calcular o seu valor final. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e propriedades de séries convergentes.

Passo 2

Vamos analisar a primeira série:
sumn=1^infty 1n(n+1)
Essa é uma série telescópica, que simplifica ao somar termos sequenciais que se cancelam mutuamente. Sabemos, conforme dado no enunciado, que essa série converge para 1.

Passo 3

Agora, observamos a segunda série:
sumn=1^infty(3n(n+1)+12^n)
Podemos separar essa série em duas partes:
3 sumn=1^infty 1n(n+1) e sumn=1^infty 12^n
A primeira parte já sabemos que a soma é 1, então multiplicando por 3 temos 3.

Passo 4

Vamos calcular a segunda parte:
sumn=1^infty 12^n
Esta é uma série geométrica com razão sumn=1^infty 12^n = 121 - 12 = 1 , que é menor que 1, garantindo a convergência. A soma de uma série geométrica é dada por:

Resposta

Portanto, somando as duas partes:
3 cdot 1 + 1 = 4
A soma da série é 4.

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