Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas:
O objetivo é verificar a convergência da segunda série e calcular o seu valor final. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e propriedades de séries convergentes.
Passo 2
Vamos analisar a primeira série:
Essa é uma série telescópica, que simplifica ao somar termos sequenciais que se cancelam mutuamente. Sabemos, conforme dado no enunciado, que essa série converge para 1.
Passo 3
Agora, observamos a segunda série:
Podemos separar essa série em duas partes:
A primeira parte já sabemos que a soma é 1, então multiplicando por 3 temos 3.
Passo 4
Vamos calcular a segunda parte:
Esta é uma série geométrica com razão
, que é menor que 1, garantindo a convergência. A soma de uma série geométrica é dada por:
Resposta
Portanto, somando as duas partes:
A soma da série é 4.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
2 sen
no ponto
.
Reparametrize a curva
relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto
na direção crescente de
.
Existe uma função
tal que
para todo
?