Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas:
O objetivo é verificar a convergência da segunda série e calcular o seu valor final. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e propriedades de séries convergentes.

Passo 2

Vamos analisar a primeira série:
Essa é uma série telescópica, que simplifica ao somar termos sequenciais que se cancelam mutuamente. Sabemos, conforme dado no enunciado, que essa série converge para 1.

Passo 3

Agora, observamos a segunda série:
Podemos separar essa série em duas partes:
A primeira parte já sabemos que a soma é 1, então multiplicando por 3 temos 3.

Passo 4

Vamos calcular a segunda parte:
Esta é uma série geométrica com razão , que é menor que 1, garantindo a convergência. A soma de uma série geométrica é dada por:

Resposta

Portanto, somando as duas partes:
A soma da série é 4.

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