Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . Desenhe a curva e a tangente em uma mesma tela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida por , , no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas para encontrar a direção da tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos igualar cada componente:
Como só é verdadeiro para , esse é o valor de que usaremos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de , e em relação a . As derivadas nos darão a direção da reta tangente.
Passo 4
Avalie as derivadas no ponto :
Então, o vetor diretor da reta tangente é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor diretor.
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são: