A integral iterada integral0^raizpi6 integralx^raizpi6 cos (y^2) d y d x vale
Escolha uma opção:
raiz34
14
12
raiz32
1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é a seguinte:
integral0^raizpi6 integralx^raizpi6 cos (y^2) , dy , dx
Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente com a função cosseno de . Vamos precisar usar troca de ordem de integração e uma substituição simples para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de até e, para cada , varia de até . Isso forma um triângulo no plano .

Passo 3

Para simplificar, vamos trocar a ordem das integrações. Agora, integral0^raizpi6 integral0^y cos (y^2) , dx , dy vai de até e, para cada , varia de até . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^y cos (y^2) , dx = cos (y^2) cdot integral0^y dx = cos (y^2) cdot y . Como não depende de , podemos tratá-la como uma constante:

Passo 5

Substituindo essa expressão na integral externa, temos:
integral0^raizpi6 y cos (y^2) , dy
Aqui, vamos usar a técnica de substituição para resolver a integral. Vamos definir:
u = y^2 Rightarrow du = 2y , dy Rightarrow du2 = y , dy

Passo 6

Substituindo na integral, ficamos com:
12 integral0^pi6 cos(u) , du
Onde ajustamos os limites de integração: quando , ; e quando , .

Passo 7

Agora, vamos integrar 12 [ sin(u) ]0^pi6 = 12 ( sin(pi6) - sin(0) ) :
12 ( 12 - 0 ) = 14
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral vale .

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