A integral iterada vale
Escolha uma opção:




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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é a seguinte:
Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente com a função cosseno de . Vamos precisar usar troca de ordem de integração e uma substituição simples para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de até e, para cada , varia de até . Isso forma um triângulo no plano .

Passo 3

Para simplificar, vamos trocar a ordem das integrações. Agora, vai de até e, para cada , varia de até . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a . Como não depende de , podemos tratá-la como uma constante:

Passo 5

Substituindo essa expressão na integral externa, temos:
Aqui, vamos usar a técnica de substituição para resolver a integral. Vamos definir:

Passo 6

Substituindo na integral, ficamos com:
Onde ajustamos os limites de integração: quando , ; e quando , .

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral vale .

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