A integral iterada
vale
Escolha uma opção:
1
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1
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é a seguinte:
Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente com a função cosseno de
. Vamos precisar usar troca de ordem de integração e uma substituição simples para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de
até
e, para cada
,
varia de
até
. Isso forma um triângulo no plano
.
Passo 3
Para simplificar, vamos trocar a ordem das integrações. Agora,
vai de
até
e, para cada
,
varia de
até
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, podemos tratá-la como uma constante:
Passo 5
Substituindo essa expressão na integral externa, temos:
Aqui, vamos usar a técnica de substituição para resolver a integral. Vamos definir:
Passo 6
Substituindo na integral, ficamos com:
Onde ajustamos os limites de integração: quando
,
; e quando
,
.
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma sequência tal que
, para todo
. Mostre que
, se e somente se,
.
Mostre que se
for uma sequência ilimitada, então, ela admite uma subsequência divergente.
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto
. Desenhe a curva e a tangente em uma mesma tela.
Seja
o volume do sólido
no primeiro octante delimitado pelo plano
. Então
vale
Escolha uma opção:
2
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2