Suponha que
seja uma sequência tal que
, para todo
. Mostre que
, se e somente se,
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
onde cada termo
é maior que zero. Precisamos mostrar que o limite de
quando
tende ao infinito é zero se e somente se o limite de
quando
tende ao infinito é mais infinito (
). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e propriedades de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos provar a direção: se
, então
.
Quando dizemos que
, significa que os termos da sequência
ficam cada vez menores, se aproximando de zero. Como cada
é positivo, ao invertermos
, os valores
vão ficar cada vez maiores, pois estamos dividindo 1 por um número que se aproxima de zero.
Matematicamente, se
, então para qualquer número grande
, existe um número
tal que para todo
,
. Isso implica que
, mostrando que
cresce sem limite, ou seja, tende a
.
Passo 3
Agora, vamos provar a outra direção: se
, então
.
Se
tende a
, isso significa que os valores de
crescem sem limite à medida que
aumenta. Como
é positivo, para que
cresça indefinidamente,
precisa ficar cada vez menor, aproximando-se de zero.
Matematicamente, para qualquer
, podemos escolher
. Como
, temos
. Portanto,
pode ser feito menor que qualquer
, o que significa que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
for uma sequência ilimitada, então, ela admite uma subsequência divergente.
Seja
. Defina a sequência
, pondo
e
. Prove que
é convergente e calcule seu limite
A integral iterada
vale
Escolha uma opção:
1
Escolha uma opção:
1
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto
. Desenhe a curva e a tangente em uma mesma tela.