Suponha que xnn in N seja uma sequência tal que xn>0, para todo n in N. Mostre que lim n infty xn=0, se e somente se, lim n infty 1xn=+infty.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde cada termo é maior que zero. Precisamos mostrar que o limite de quando tende ao infinito é zero se e somente se o limite de quando tende ao infinito é mais infinito ( ). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e propriedades de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos provar a direção: se , então .
Quando dizemos que , significa que os termos da sequência ficam cada vez menores, se aproximando de zero. Como cada é positivo, ao invertermos , os valores vão ficar cada vez maiores, pois estamos dividindo 1 por um número que se aproxima de zero.
Matematicamente, se , então para qualquer número grande , existe um número tal que para todo , . Isso implica que , mostrando que cresce sem limite, ou seja, tende a .

Passo 3

Agora, vamos provar a outra direção: se , então .
Se tende a , isso significa que os valores de crescem sem limite à medida que aumenta. Como é positivo, para que cresça indefinidamente, precisa ficar cada vez menor, aproximando-se de zero.
Matematicamente, para qualquer , podemos escolher . Como , temos . Portanto, pode ser feito menor que qualquer , o que significa que .

Resposta

Portanto, mostramos que se e somente se .

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