Determine as equações paramétricas e simétrica da reta , que passa pelo ponto , e é paralela ao vetor dado: e ;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e quais tópicos vamos usar. A gente precisa encontrar as equações paramétricas e simbólicas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor .
Aqui, vamos usar Geometria Analítica no Espaço, focando em como representar uma reta de diferentes maneiras. Vamos precisar entender o que são equações paramétricas e simétricas de uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as equações paramétricas de uma reta. Elas descrevem a reta usando um parâmetro, geralmente representado por . A ideia é expressar as coordenadas , e em função desse parâmetro.
Como a reta passa pelo ponto e é paralela ao vetor , podemos usar o ponto e o vetor para montar as equações. A fórmula geral das equações paramétricas é:
Onde é o ponto da reta e são as componentes do vetor diretor.
Passo 3
Vamos aplicar os valores que temos na fórmula. O ponto é e o vetor , então:
Simplificando:
Então, essas são as equações paramétricas da reta .
Passo 4
Agora, vamos para as equações simétricas da reta. As equações simétricas relacionam as coordenadas , e diretamente, eliminando o parâmetro .
A fórmula geral das equações simétricas é:
Vamos usar o ponto e o vetor .
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Perceba que temos uma divisão por zero na primeira fração, o que significa que é constante. Portanto, a equação simplificada fica:
Podemos reescrever a segunda parte para ficar mais clara: