Determine as equações paramétricas e simétrica da reta r, que passa pelo ponto P0, e é paralela ao vetor v dado:
P0=(0,1,-1) e v=(0,-1,2);

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede e quais tópicos vamos usar. A gente precisa encontrar as equações paramétricas e simbólicas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor .
Aqui, vamos usar Geometria Analítica no Espaço, focando em como representar uma reta de diferentes maneiras. Vamos precisar entender o que são equações paramétricas e simétricas de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as equações paramétricas de uma reta. Elas descrevem a reta usando um parâmetro, geralmente representado por x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t z = z0 + c cdot t . A ideia é expressar as coordenadas , e em função desse parâmetro.
Como a reta passa pelo ponto e é paralela ao vetor , podemos usar o ponto e o vetor para montar as equações. A fórmula geral das equações paramétricas é:
Onde é o ponto da reta e são as componentes do vetor diretor.

Passo 3

Vamos aplicar os valores que temos na fórmula. O ponto x = 0 + 0 cdot t y = 1 + (-1) cdot t z = -1 + 2 cdot t é x = 0 y = 1 - t z = -1 + 2t e o vetor , então:
Simplificando:
Então, essas são as equações paramétricas da reta .

Passo 4

Agora, vamos para as equações simétricas da reta. As equações simétricas relacionam as coordenadas x - x0a = y - y0b = z - z0c , e diretamente, eliminando o parâmetro .
A fórmula geral das equações simétricas é:
Vamos usar o ponto e o vetor .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
x - 00 = y - 1-1 = z + 12
Perceba que temos uma divisão por zero na primeira fração, o que significa que x = 0 e y - 1-1 = z + 12 é constante. Portanto, a equação simplificada fica:
y - 1-1 = z + 12 Rightarrow 1 - y1 = z + 12
Podemos reescrever a segunda parte para ficar mais clara:
x = 0 e 1 - y1 = z + 12
Então, as equações simétricas da reta são:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 0 y = 1 - t z = -1 + 2t são:
x = 0 e 1 - y1 = z + 12
E as equações simétricas da reta são:

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