Sejam |u|=4,|v|=3 e theta=pi3 rad o ângulo formado pelos vetores u e v.
(a) Mostre que: |u-v|^2=|u|^2-2lang<=u, v>+|v|^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, com norma 4 e com norma 3, que formam um ângulo radianos. A tarefa é mostrar que a norma do vetor ao quadrado é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como norma de vetores e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor |a|^2 = lang<= a, a rang<= ao quadrado pode ser expressa como o produto interno dele consigo mesmo:
|u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<=
Aplicando isso ao vetor , temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir o produto interno usando a propriedade distributiva:
lang<= u - v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=

Passo 4

Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, |u - v|^2 = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 . Assim, podemos simplificar a expressão:

Resposta

Portanto, mostramos que:
|u - v|^2 = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2

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