Sejam A=(2,-3,-5) e B=(-1,3,2) vértices de um paralelogramo, cujas diagonais são concorrentes em M=(4,-1,7). Encontre os outros dois vértices.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria envolvendo um paralelogramo no espaço. Os vértices conhecidos são e , e as diagonais se cruzam no ponto . Nosso objetivo é descobrir os outros dois vértices desse paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, lembra que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, se cruzam no ponto médio. Isso significa que o ponto é o ponto médio de ambas as diagonais.

Passo 3

Vamos chamar os outros dois vértices de M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) e . Assim, temos duas diagonais: e . Já sabemos que é o ponto médio de . Vamos usar a fórmula do ponto médio para encontrar .
A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:

Passo 4

Aplicando a fórmula do ponto médio para M = ( 2 + xC2, -3 + yC2, -5 + zC2 ) = (4, -1, 7) :
2 + xC2 = 4 -3 + yC2 = -1 -5 + zC2 = 7
Agora, igualamos cada coordenada:

Passo 5

Resolvendo cada equação:
Para 2 + xC2 = 4 2 + xC = 8 xC = 6 :
-3 + yC2 = -1 -3 + yC = -2 yC = 1
Para -5 + zC2 = 7 -5 + zC = 14 zC = 19 :
Para :
Então, o ponto é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto M = ( -1 + xD2, 3 + yD2, 2 + zD2 ) = (4, -1, 7) usando a diagonal -1 + xD2 = 4 3 + yD2 = -1 2 + zD2 = 7 . Sabemos que também é o ponto médio de . Aplicando a fórmula do ponto médio:
Igualando cada coordenada:

Passo 7

Resolvendo cada equação:
Para -1 + xD2 = 4 -1 + xD = 8 xD = 9 :
3 + yD2 = -1 3 + yD = -2 yD = -5
Para 2 + zD2 = 7 2 + zD = 14 zD = 12 :
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os outros dois vértices do paralelogramo são e .

Exercícios relacionados