Sejam e vértices de um paralelogramo, cujas diagonais são concorrentes em . Encontre os outros dois vértices.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria envolvendo um paralelogramo no espaço. Os vértices conhecidos são e , e as diagonais se cruzam no ponto . Nosso objetivo é descobrir os outros dois vértices desse paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, lembra que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, se cruzam no ponto médio. Isso significa que o ponto é o ponto médio de ambas as diagonais.

Passo 3

Vamos chamar os outros dois vértices de e . Assim, temos duas diagonais: e . Já sabemos que é o ponto médio de . Vamos usar a fórmula do ponto médio para encontrar .
A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:

Passo 4

Aplicando a fórmula do ponto médio para :
Agora, igualamos cada coordenada:

Passo 5

Resolvendo cada equação:
Para :
Para :
Para :
Então, o ponto é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto usando a diagonal . Sabemos que também é o ponto médio de . Aplicando a fórmula do ponto médio:
Igualando cada coordenada:

Passo 7

Resolvendo cada equação:
Para :
Para :
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os outros dois vértices do paralelogramo são e .

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meia volta a partir do ponto ;
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meia volta partir do ponto ;
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;