A reta determina um ângulo de com a reta , cujo coeficiente angular é . Determine o coeficiente angular de .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos fala sobre duas retas que formam um ângulo de . A reta tem um coeficiente angular (ou inclinação) de . Nosso objetivo é encontrar o coeficiente angular da reta .
Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e geometria analítica, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo entre duas retas com seus coeficientes angulares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona o ângulo entre duas retas com seus coeficientes angulares e . A fórmula é:
Essa expressão nos diz como o ângulo entre duas retas depende dos seus coeficientes angulares.

Passo 3

Sabemos que o ângulo é e que . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Calculando o valor de . Sabemos que:
Como estamos lidando com o valor absoluto na fórmula, podemos considerar o valor positivo:

Passo 5

Vamos remover o valor absoluto, considerando que a expressão dentro pode ser positiva ou negativa. Isso nos dá duas equações:
Vamos resolver a primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :
Vamos reorganizar os termos para isolar :
Fatorando no lado direito:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando numerador e denominador por 3 para simplificar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado :
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

O coeficiente angular da reta é:

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