A reta r1 determina um ângulo de 120^circ com a reta r2, cujo coeficiente angular é -13. Determine o coeficiente angular de r1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos fala sobre duas retas que formam um ângulo de . A reta tem um coeficiente angular (ou inclinação) de . Nosso objetivo é encontrar o coeficiente angular da reta .
Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e geometria analítica, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo entre duas retas com seus coeficientes angulares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona o ângulo tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 | entre duas retas com seus coeficientes angulares e . A fórmula é:
Essa expressão nos diz como o ângulo entre duas retas depende dos seus coeficientes angulares.

Passo 3

Sabemos que o ângulo tan(120^circ) = | -13 - m11 + m1 (-13) | é e que . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Calculando o valor de tan(120^circ) = tan(180^circ - 60^circ) = -tan(60^circ) = -raiz3 . Sabemos que:
raiz3 = | -13 - m11 - m13 |
Como estamos lidando com o valor absoluto na fórmula, podemos considerar o valor positivo:

Passo 5

Vamos remover o valor absoluto, considerando que a expressão dentro pode ser positiva ou negativa. Isso nos dá duas equações:
  1. raiz3 = -13 - m11 - m13
  2. raiz3 (1 - m13) = -13 - m1
Vamos resolver a primeira equação:
raiz3 - raiz33 m1 = -13 - m1
Multiplicando ambos os lados por raiz3 + 13 = raiz33 m1 - m1 :
raiz3 + 13 = m1 ( raiz33 - 1 )
Distribuindo o :
Vamos reorganizar os termos para isolar :
Fatorando no lado direito:

Passo 6

Agora, vamos resolver para m1 = raiz3 + 13raiz33 - 1 :
m1 = 3raiz3 + 1raiz3 - 3
Multiplicando numerador e denominador por 3 para simplificar:
m1 = (3raiz3 + 1)(raiz3 + 3)(raiz3 - 3)(raiz3 + 3)
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado (raiz3)^2 - (3)^2 = 3 - 9 = -6 :
3raiz3 cdot raiz3 + 3raiz3 cdot 3 + 1 cdot raiz3 + 1 cdot 3 = 9 + 9raiz3 + raiz3 + 3 = 12 + 10raiz3
Calculando o denominador:
m1 = 12 + 10raiz3-6 = -2 - 5raiz33
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

O coeficiente angular da reta m1 = -2 - 5raiz33 é:

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