(2,0 pts)Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações a seguir, justificando sua resposta:.
(d)
)
, subespaço de
tem dimensão igual a 3 .
(d)
Passo 1
Estamos analisando a afirmação de que o conjunto
é um subespaço de
com dimensão igual a 3. Para verificar isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e dimensões.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar que
é realmente um subespaço de
. Um subespaço deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: o vetor
está em ? - Fechamento por adição: se
e estão em , então também está em ? - Fechamento por multiplicação por escalar: se
está em e é um número real, então está em ?
Passo 3
1. Contém o vetor zero: Vamos verificar se
satisfaz a equação
.
Substituindo, temos:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechamento por adição: Seja
e
dois vetores em
. Isso significa que:
Vamos somar esses vetores:
Verificamos se
está em
:
Portanto,
está em
.
Passo 5
3. Fechamento por multiplicação por escalar: Seja
um vetor em
e
um escalar real. Então:
Vamos verificar se
está em
:
Assim,
também está em
.
Passo 6
Agora que confirmamos que
é um subespaço de
, vamos determinar sua dimensão. A equação
pode ser rearranjada para expressar uma variável em termos das outras:
Isso significa que podemos escolher
,
e
livremente, tornando-os variáveis livres. O número de variáveis livres corresponde à dimensão do subespaço. Portanto, a dimensão de
é 3.
Resposta
A afirmação é verdadeira (V):
é um subespaço de
com dimensão igual a 3.