(2,0 pts)Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações a seguir, justificando sua resposta:.
(d) ( ) W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0, subespaço de R^4 tem dimensão igual a 3 .

Passo 1

Estamos analisando a afirmação de que o conjunto é um subespaço de com dimensão igual a 3. Para verificar isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e dimensões.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar que é realmente um subespaço de . Um subespaço deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: o vetor está em ?
  2. Fechamento por adição: se e estão em , então também está em ?
  3. Fechamento por multiplicação por escalar: se está em e é um número real, então está em ?

Passo 3

1. Contém o vetor zero: Vamos verificar se 0 - 0 - 0 + 0 = 0 satisfaz a equação .
Substituindo, temos:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechamento por adição: Seja x1 - y1 - z1 + t1 = 0 e x2 - y2 - z2 + t2 = 0 e u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) dois vetores em (x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2) + (t1 + t2) = (x1 - y1 - z1 + t1) + (x2 - y2 - z2 + t2) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
Vamos somar esses vetores:
Verificamos se está em :
Portanto, está em .

Passo 5

3. Fechamento por multiplicação por escalar: Seja cu = (cx, cy, cz, ct) um vetor em cx - cy - cz + ct = c(x - y - z + t) = c cdot 0 = 0 e um escalar real. Então:
Vamos verificar se está em :
Assim, também está em .

Passo 6

Agora que confirmamos que x = y + z - t é um subespaço de , vamos determinar sua dimensão. A equação pode ser rearranjada para expressar uma variável em termos das outras:
Isso significa que podemos escolher , e livremente, tornando-os variáveis livres. O número de variáveis livres corresponde à dimensão do subespaço. Portanto, a dimensão de é 3.

Resposta

A afirmação é verdadeira (V): é um subespaço de com dimensão igual a 3.

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