(2,0 pts)Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações a seguir, justificando sua resposta:.
(d) ) , subespaço de tem dimensão igual a 3 .
Passo 1
Estamos analisando a afirmação de que o conjunto é um subespaço de com dimensão igual a 3. Para verificar isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e dimensões.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar que é realmente um subespaço de . Um subespaço deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: o vetor está em ?
Fechamento por adição: se e estão em , então também está em ?
Fechamento por multiplicação por escalar: se está em e é um número real, então está em ?
Passo 3
1. Contém o vetor zero: Vamos verificar se satisfaz a equação .
Substituindo, temos:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Fechamento por adição: Seja e dois vetores em . Isso significa que:
Vamos somar esses vetores:
Verificamos se está em :
Portanto, está em .
Passo 5
3. Fechamento por multiplicação por escalar: Seja um vetor em e um escalar real. Então:
Vamos verificar se está em :
Assim, também está em .
Passo 6
Agora que confirmamos que é um subespaço de , vamos determinar sua dimensão. A equação pode ser rearranjada para expressar uma variável em termos das outras:
Isso significa que podemos escolher , e livremente, tornando-os variáveis livres. O número de variáveis livres corresponde à dimensão do subespaço. Portanto, a dimensão de é 3.
Resposta
A afirmação é verdadeira (V): é um subespaço de com dimensão igual a 3.