Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência x^2+y^2=9, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto (3,0);

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas que descrevem o movimento de uma partícula que está se movendo sobre a circunferência definida por . Isso significa que o raio da circunferência é 3 (porque ). A partícula começa no ponto (3, 0) e faz meia volta no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar trigonometria e entender como representar o movimento circular com equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas para uma circunferência de raio x(t) = r cdot cos(t) centrada na origem são dadas por:
y(t) = r cdot sin(t)
Aqui, representa o ângulo em radianos que a partícula forma com o eixo positivo.

Passo 3

No nosso caso, o raio x(t) = 3 cdot cos(t) é 3, então as equações paramétricas ficam:
y(t) = 3 cdot sin(t)
Essas equações descrevem toda a circunferência. Mas a gente precisa especificar o intervalo de para que a partícula faça meia volta a partir de (3, 0) no sentido anti-horário.

Passo 4

Uma meia volta corresponde a um ângulo de radianos (já que radianos é uma volta completa). Como a partícula começa em no ponto (3, 0) e vai no sentido anti-horário, o intervalo de será de a .

Passo 5

Então, as equações paramétricas finais que descrevem o movimento da partícula são:
x(t) = 3 cdot cos(t)
y(t) = 3 cdot sin(t)
com variando de a .

Resposta

As equações paramétricas são:
x(t) = 3 cos(t)
y(t) = 3 sin(t)
para .

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