(2,0 pts) Seja
(a) Verifique se
é subespaço vetorial de
.
(a) Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
e queremos verificar se ele é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos checar três coisas básicas:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição (ou seja, se você pegar dois vetores de e somar, o resultado também está em ). -
é fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor de por qualquer número real, o resultado também está em ).
Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
Substituindo na equação que define
:
Então, o vetor zero está sim em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Pegamos dois vetores quaisquer de
:
Sabemos que:
Vamos somar esses vetores:
Agora, verificamos se
também satisfaz a condição de
:
Como a equação também é verdadeira,
está em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor qualquer de
:
Multiplicamos esse vetor por um escalar qualquer
:
Agora, verificamos se
também satisfaz a condição de
:
A equação é verdadeira, então
está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.