(2,0 pts) Seja
(a) Verifique se é subespaço vetorial de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto e queremos verificar se ele é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos checar três coisas básicas:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição (ou seja, se você pegar dois vetores de e somar, o resultado também está em ).
  3. é fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor de por qualquer número real, o resultado também está em ).
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é .
Substituindo na equação que define :
Então, o vetor zero está sim em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Pegamos dois vetores quaisquer de :
Sabemos que:
Vamos somar esses vetores:
Agora, verificamos se também satisfaz a condição de :
Como a equação também é verdadeira, está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor qualquer de :
Multiplicamos esse vetor por um escalar qualquer :
Agora, verificamos se também satisfaz a condição de :
A equação é verdadeira, então está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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