(2,0 pts) Seja W=(x, y, z) in R^3 ; 2 x-z=0
(a) Verifique se W é subespaço vetorial de V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto e queremos verificar se ele é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos checar três coisas básicas:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição (ou seja, se você pegar dois vetores de e somar, o resultado também está em ).
  3. é fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor de por qualquer número real, o resultado também está em ).
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em 2(0) - 0 = 0 . O vetor zero em 0 = 0 (Verdadeiro!) é .
Substituindo na equação que define :
Então, o vetor zero está sim em .

Passo 3

Agora, vamos checar se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) é fechado sob adição. Pegamos dois vetores quaisquer de 2x1 - z1 = 0 e 2x2 - z2 = 0 :
u + v = (x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2)
Sabemos que:
2(x1 + x2) - (z1 + z2) = 2x1 + 2x2 - z1 - z2 = (2x1 - z1) + (2x2 - z2) = 0 + 0 = 0
Vamos somar esses vetores:
Agora, verificamos se também satisfaz a condição de :
Como a equação também é verdadeira, está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos ver se u = (x, y, z) com 2x - z = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor qualquer de cu = (cx, , cy, , cz) :
2(cx) - cz = c(2x) - cz = c(2x - z) = c cdot 0 = 0
Multiplicamos esse vetor por um escalar qualquer :
Agora, verificamos se também satisfaz a condição de :
A equação é verdadeira, então está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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