Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
© x*z - y*z^3 + y*z^2 = 2, (2, -1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície dada no ponto (2, -1, 1). A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariável, mais especificamente, derivadas parciais e geometria analítica. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função que representa a superfície para achar o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação como:
Para encontrar o plano tangente nesse ponto, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
  • em :
  • em :
  • em :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas no ponto, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos determinar as equações paramétricas da reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto dado. Os coeficientes das derivadas parciais representam a direção da reta normal. Então, a direção da reta normal é o vetor .
As equações paramétricas da reta normal são dadas por:
onde é o vetor direção e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:

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