Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície dada no ponto (2, -1, 1). A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariável, mais especificamente, derivadas parciais e geometria analítica. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função que representa a superfície para achar o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação como:
Para encontrar o plano tangente nesse ponto, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
em :
em :
em :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas no ponto, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos determinar as equações paramétricas da reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto dado. Os coeficientes das derivadas parciais representam a direção da reta normal. Então, a direção da reta normal é o vetor .
As equações paramétricas da reta normal são dadas por:
onde é o vetor direção e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são: