A equação
partial^2 upartial t^2=c^2 partial^2 upartial x^2
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam f e g funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
© Confirme que phi(x, t)=sen(x) cos (t) satifaz a equação de onda com c = 1, e então use identidades trigonométiricas apropriadas para expressar essa função na forma f(x+c t)+g(x-c t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que trata da equação de onda, que é uma equação diferencial parcial bastante importante na física e engenharia para modelar ondas, como as sonoras ou eletromagnéticas. Precisamos verificar se a função satisfaz a equação de onda quando e depois reescrevê-la na forma usando identidades trigonométricas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir partial^2 upartial t^2 = partial^2 upartial x^2 na equação de onda:
Queremos verificar se satisfaz essa equação. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de partial phipartial t = -sin(x) sin(t) em relação a partial^2 phipartial t^2 = -sin(x) cos(t) :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de partial phipartial x = cos(x) cos(t) em relação a partial^2 phipartial x^2 = -sin(x) cos(t) :

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas, vamos substituir na equação de onda para ver se ela é satisfeita:
partial^2 phipartial t^2 = -sin(x) cos(t)
partial^2 phipartial x^2 = -sin(x) cos(t)
Substituindo na equação:
-sin(x) cos(t) = -sin(x) cos(t)
O que é verdadeiro, então realmente satisfaz a equação de onda com .

Passo 6

Agora, vamos reescrever phi(x, t) = f(x + t) + g(x - t) na forma sin A cos B = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)] . Como sin(x) cos(t) = 12 [sin(x + t) + sin(x - t)] , fica:
f(x + t) = 12 sin(x + t)
Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
g(x - t) = 12 sin(x - t)
Aplicando essa identidade com e :
Portanto, identificamos:

Resposta

A função phi(x, t) = 12 sin(x + t) + 12 sin(x - t) satisfaz a equação de onda com e pode ser expressa como:

Exercícios relacionados