A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
© Confirme que satifaz a equação de onda com , e então use identidades trigonométiricas apropriadas para expressar essa função na forma .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que trata da equação de onda, que é uma equação diferencial parcial bastante importante na física e engenharia para modelar ondas, como as sonoras ou eletromagnéticas. Precisamos verificar se a função satisfaz a equação de onda quando e depois reescrevê-la na forma usando identidades trigonométricas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na equação de onda:
Queremos verificar se satisfaz essa equação. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas, vamos substituir na equação de onda para ver se ela é satisfeita:
Substituindo na equação:
O que é verdadeiro, então realmente satisfaz a equação de onda com .

Passo 6

Agora, vamos reescrever na forma . Como , fica:
Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade com e :
Portanto, identificamos:

Resposta

A função satisfaz a equação de onda com e pode ser expressa como:

Exercícios relacionados

Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
© .
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
(b) ;
(1,5 ponto) Encontre os pontos críticos de e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexāo.
(1,0 ponto) Estude a função em relação a crescimento, decrescimento, pontos de inflexão e concavidade.