A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam
e
funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
© Confirme que
satifaz a equação de onda com
, e então use identidades trigonométiricas apropriadas para expressar essa função na forma
.
© Confirme que
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que trata da equação de onda, que é uma equação diferencial parcial bastante importante na física e engenharia para modelar ondas, como as sonoras ou eletromagnéticas. Precisamos verificar se a função
satisfaz a equação de onda quando
e depois reescrevê-la na forma
usando identidades trigonométricas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação de onda:
Queremos verificar se
satisfaz essa equação. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as segundas derivadas, vamos substituir na equação de onda para ver se ela é satisfeita:
Substituindo na equação:
O que é verdadeiro, então
realmente satisfaz a equação de onda com
.
Passo 6
Agora, vamos reescrever
na forma
. Como
, fica:
Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade com
e
:
Portanto, identificamos:
Resposta
A função
satisfaz a equação de onda com
e pode ser expressa como:
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© .
©
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(b) ;
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