(1,5 ponto) Encontre os pontos críticos de
e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexāo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que são ferramentas essenciais no cálculo para analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Vamos começar calculando a primeira derivada de
.
A função dada é:
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam a primeira derivada igual a zero:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
.
Podemos fatorar a equação:
Assim, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 6
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
- Para
:
Como
, a curva é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo local.
- Para
:
Como
, a curva é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
que é um máximo local. -
que é um mínimo local.
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A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam
e
funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
© Confirme que satifaz a equação de onda com
, e então use identidades trigonométiricas apropriadas para expressar essa função na forma
.
© Confirme que
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
© .
©
(1,0 ponto) Estude a função
em relação a crescimento, decrescimento, pontos de inflexão e concavidade.
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dado.
(b)
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