(1,5 ponto) Encontre os pontos críticos de f(x) = x^3 + 3*x^2 - 9*x e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexāo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um deles como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que são ferramentas essenciais no cálculo para analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Vamos começar calculando a primeira derivada de .
A função dada é:
Calculando a primeira derivada:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de que tornam a primeira derivada igual a zero:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de .
Podemos fatorar a equação:
Assim, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de :

Passo 6

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
  1. Para :
Como , a curva é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo local.
  1. Para :
Como , a curva é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • que é um máximo local.
  • que é um mínimo local.

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