(1,5 ponto) Encontre os pontos críticos de
e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexāo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que são ferramentas essenciais no cálculo para analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Vamos começar calculando a primeira derivada de
.
A função dada é:
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam a primeira derivada igual a zero:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
.
Podemos fatorar a equação:
Assim, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 6
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
- Para
:
Como
, a curva é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo local.
- Para
:
Como
, a curva é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
que é um máximo local. -
que é um mínimo local.