Determine as equações do plano tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 5
Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 6
Agora que temos
e
, usamos a fórmula da equação do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é: