Determine as equações do plano tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
(d) f(x, y) = x * y * e^(x * y) em (1, 1, e).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é :
Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 5

Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :

Passo 6

Agora que temos e , usamos a fórmula da equação do plano tangente:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é:

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