Resolva as integrais abaixo: integral1^2 x+4x^3+2 x^2 d x

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. A questão pede para resolver a integral definida de . Para isso, vamos utilizar o conceito de frações parciais, que ajuda a dividir frações complexas em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2) . Podemos tirar um fator comum de integral1^2 x+4x^2(x + 2) , dx :
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos decompor a fração x+4x^2(x + 2) = Ax + Bx^2 + Cx + 2 em frações parciais. Assumimos que:
x + 4 = A x (x + 2) + B (x + 2) + C x^2
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
x + 4 = A x^2 + 2A x + B x + 2B + C x^2
Agrupando os coeficientes:
(A + C) x^2 + (2A + B) x + 2B = x + 4
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
A + C = 0 2A + B = 1 2B = 4

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora, substituímos os valores de x+4x^2(x + 2) = -12 x + 2x^2 + 12 x + 2 , x+4x^2(x + 2) = -12x + 2x^2 + 12(x + 2) e na decomposição:
Simplificando:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral1^2 ( -12x + 2x^2 + 12(x + 2) ) dx = -12 integral1^2 1x dx + 2 integral1^2 1x^2 dx + 12 integral1^2 1x + 2 dx

Passo 8

Vamos integrar cada termo:

Passo 9

Combinando as integrais, temos:
- 12 ln|x| - 2x + 12 ln|x + 2| g|1^2

Passo 10

Avaliaremos a antiderivada nos limites de 2 e 1:
Para - 12 ln 2 - 22 + 12 ln 4 = -12 ln 2 -1 + 12 (2 ln 2) = -12 ln 2 -1 + ln 2 = 12 ln 2 -1 :
- 12 ln 1 - 21 + 12 ln 3 = 0 -2 + 12 ln 3 = -2 + 12 ln 3
Para :

Passo 11

Subtraindo os valores:
( 12 ln 2 -1 ) - ( -2 + 12 ln 3 ) = 12 ln 2 -1 +2 - 12 ln 3 = 12 ( ln 2 - ln 3 ) +1
Sabendo que 12 ln ( 23 ) +1 , temos:

Resposta

O valor da integral é aproximadamente:
1 + 12 ln( 23 ) approx 0,797

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