Uma partícula move-se com velocidade v(t) = cos(pi t) ao longo do eixo coordenado. Sabendo que a partícula tem a coordenada s = 4 no instante t = 0, encontre sua função posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que tem uma velocidade dada por ao longo de uma linha. A gente precisa encontrar a função posição dessa partícula sabendo que, no instante , a posição é igual a 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição através da integração.

Passo 2

Primeiro, lembra que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, se a gente tem a função velocidade , para encontrar a posição , a gente precisa integrar essa função em relação a .
Matematicamente, isso fica assim:
onde é a constante de integração que a gente vai determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Vamos então fazer a integração da função velocidade :
Para integrar , a gente usa a regra de integração de funções trigonométricas:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , a posição . Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
Como , a equação simplifica para:

Resposta

Então, a função posição da partícula é:

Exercícios relacionados