Uma partícula move-se com velocidade
ao longo do eixo coordenado. Sabendo que a partícula tem a coordenada
no instante
, encontre sua função posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que tem uma velocidade dada por
ao longo de uma linha. A gente precisa encontrar a função posição dessa partícula sabendo que, no instante
, a posição
é igual a 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição através da integração.
Passo 2
Primeiro, lembra que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, se a gente tem a função velocidade
, para encontrar a posição
, a gente precisa integrar essa função em relação a
.
Matematicamente, isso fica assim:
onde
é a constante de integração que a gente vai determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Vamos então fazer a integração da função velocidade
:
Para integrar
, a gente usa a regra de integração de funções trigonométricas:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
, a posição
. Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
Como
, a equação simplifica para:
Resposta
Então, a função posição da partícula é: