Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto
.
d)
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Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
. A parada é descobrir as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função no ponto
. Para isso, a gente vai precisar entender como tirar derivadas parciais, que basicamente são derivadas considerando uma variável enquanto a outra fica fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função:
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
.
Passo 3
A derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos calcular isso no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos tirar a primeira derivada parcial em relação a
:
Calculando no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 6
A segunda derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 7
Por fim, a derivada mista, derivada primeira em
e depois em
(ou vice-versa):
No ponto
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem no ponto
são: