Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto 1,4.
d) f(x, y) = 2x^2 - 3x^2y^3 + x^2

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . A parada é descobrir as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função no ponto . Para isso, a gente vai precisar entender como tirar derivadas parciais, que basicamente são derivadas considerando uma variável enquanto a outra fica fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função:
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a .

Passo 3

A derivada parcial de em relação a é:
Vamos calcular isso no ponto :

Passo 4

Agora, vamos tirar a primeira derivada parcial em relação a :
Calculando no ponto :

Passo 5

Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a :
No ponto :

Passo 6

A segunda derivada parcial em relação a :
No ponto :

Passo 7

Por fim, a derivada mista, derivada primeira em e depois em (ou vice-versa):
No ponto :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem no ponto são:

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