Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto 1,4.
a) f(x, y) = 5x^2 + 4xy^3 + 2y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função no ponto . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função .
A derivada parcial em relação a , denotada por , é obtida tratando como constante e derivando em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a , denotada por , trata como constante:

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos avaliá-las no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiramente, a segunda derivada parcial em relação a , denotada por :
Depois, a segunda derivada parcial mista, primeiro em relação a e depois a , denotada por :
E a segunda derivada parcial em relação a , denotada por :

Passo 5

Vamos agora avaliar essas derivadas de segunda ordem no ponto .
Para em :
Para em :
Para em :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função no ponto são:

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