Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
no ponto
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
A derivada parcial em relação a
, denotada por
, é obtida tratando
como constante e derivando em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
, denotada por
, trata
como constante:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos avaliá-las no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiramente, a segunda derivada parcial em relação a
, denotada por
:
Depois, a segunda derivada parcial mista, primeiro em relação a
e depois a
, denotada por
:
E a segunda derivada parcial em relação a
, denotada por
:
Passo 5
Vamos agora avaliar essas derivadas de segunda ordem no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Para
em
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
no ponto
são: