(n) Qual valor deveria ser atribuido para em para a função ser contínua em ?
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. Temos uma função definida por partes em vários intervalos de e queremos desenhar o gráfico dessa função. Além disso, na parte (n), precisamos descobrir qual valor atribuir a em para que a função seja contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre continuidade de funções e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “buracos” no gráfico nessa posição. Matemáticamente, isso significa que:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de pela esquerda (denotado por ) deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita (), e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso no nosso caso específico: .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda (). Observando a definição da função, para , temos:
Então,
Passo 4
Em seguida, calculamos o limite pela direita (). Para , a função é:
Portanto,
Resposta
Para que a função seja contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais a . Já vimos que ambos os limites são 0. Portanto, devemos atribuir:
Isso garante que não haverá “saltos” no gráfico da função em , mantendo a continuidade.