Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto dado. em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto dado . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de para determinar a coordenada do ponto. Substituindo e na função:
Então, o ponto em questão é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Em seguida, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente no ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar:
Então, o plano tangente é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto dado. A reta normal tem a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é formado pelas derivadas parciais e o componente , ou seja, .
No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é dada por:
Onde é o parâmetro.
Resposta
O plano tangente ao gráfico da função no ponto é:
E a reta normal ao gráfico nesse ponto é descrita pelas equações paramétricas: