Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto dado.
em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto dado . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de para determinar a coordenada do ponto. Substituindo e na função:
Então, o ponto em questão é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Em seguida, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente no ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar:
Então, o plano tangente é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto dado. A reta normal tem a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é formado pelas derivadas parciais e o componente , ou seja, .
No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é dada por:
Onde é o parâmetro.

Resposta

O plano tangente ao gráfico da função no ponto é:
E a reta normal ao gráfico nesse ponto é descrita pelas equações paramétricas:

Exercícios relacionados

Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
a) Do eixo
Simplifique as expressões a seguir:
b)
Calcule os números a seguir, sem uso de calculadora:
a)
Calcule os números a seguir, sem uso de calculadora:
f)