Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y) = 4 x^2 - y e^(2 x + y) no ponto -2, 4, 12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e equações de planos e retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está no gráfico da função. Isso significa que deve ser igual a 12.
Calculando:
Então, o ponto está correto.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e no ponto dado.
Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, a equação do plano tangente no ponto é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação do plano tangente:

Passo 8

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais . No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:
onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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