Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e equações de planos e retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está no gráfico da função. Isso significa que
deve ser igual a 12.
Calculando:
Então, o ponto está correto.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto dado.
Vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, a equação do plano tangente no ponto
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação do plano tangente:
Passo 8
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais
. No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto
é:
onde
é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é: